(提示，严格证明该模型最优比较麻烦，但确实可证，大胆猜想是解题关键) 

　　题目可归结为求数列 an=500/(2n+1) n=0,1,2,3......的和Sn什么时候大于等于1000,解得n> 6 

　　当n=6时，S6=977.57 

　　所以第一个中转点离起始位置距离为1000-977.57=22.43公里 

　　所以第一次中转之前共耗油 22.43*(2*7+1)=336.50升 

　　此后每次中转耗油500升 

　　所以总耗油量为7*500+336.50=3836.50升 

　　第四题：需要建立数学模型 

　　题目可归结为求自然数列的和S什么时候大于等于100，解得n> 13 

　　第一个杯子可能的投掷楼层分别为：14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，100 

　　第五题：3和4(可严格证明) 

　　设两个数为n1，n2，n1> =n2，甲听到的数为n=n1+n2，乙听到的数为m=n1*n2 

　　证明n1=3，n2=4是唯一解 

　　证明：要证以上命题为真，不妨先证n=7 

　　1)必要性： 

　　i) n> 5 是显然的，因为n <4不可能，n=4或者n=5甲都不可能回答不知道 

　　ii) n> 6 因为如果n=6的话，那么甲虽然不知道(不确定2+4还是3+3)但是无论是2，4还是3，3乙都不可能说不知道(m=8或者m=9的话乙说不知道是没有道理的) 

　　iii) n <8 因为如果n> =8的话，就可以将n分解成 n=4+x 和 n=6+(x-2)，那么m可以是4x也可以是6(x-2)而4x=6(x-2)的必要条件是x=6即n=10，那样n又可以分解成8+2，所以总之当 n> =8时，n至少可以分解成两种不同的合数之和，这样乙说不知道的时候，甲就没有理由马上说知道。 

　　以上证明了必要性 

　　2)充分性 

　　当n=7时，n可以分解成2+5或3+4 

　　显然2+5不符合题意，舍去，容易判断出3+4符合题意，m=12，证毕 

　　于是得到n=7 m=12 n1=3 n2=4是唯一解。第六题：7只(数学归纳法证明) 

　　1)若只有1只病狗，因为病狗主人看不到有其他病狗，必然会知道自己的狗是病狗(前提是一定存在病狗)，所以他会在第一天把病狗处决。 

　　2)设有k只病狗的话，会在第k天被处决，那么，如果有k+1只，病狗的主人只会看到k只病狗，而第k天没有人处决病狗，病狗主人就会在第k+1天知道自己的狗是病狗，于是病狗在第k+1天被处决 

　　3)由1)2)得，若有n只病狗，必然在第n天被处决 

　　第七题：(提示：可用图论方法解决) 

　　BONO&EDGE过(2分)，BONO将手电带回(1分)，ADAM&LARRY过(10分)，EDGE将手电带回(2分)，BONO&EDGE过(2分) 2+1+10+2+2=17分钟